2022 年新一卷数学第 7 题另解

设 $a = 0.1 e ^ {0.1}, b = \frac{1}{9}, c = -\ln 0.9$，试比较 $a, b, c$ 的大小。

考虑到以下公式：

$$e ^ {qx} = \sum _ {n} q ^ n \frac{x ^ n}{n!} \tag{7.1} $$

$$\ln(1 + x) = \sum _ n (-1) ^ n \frac{x ^ {n + 1}}{n + 1} \tag{7. 2} $$

将 $a$ 带入式 $(7. 1)$ 可得：

$$\begin{aligned} a &= 0.1(1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} + \frac{0.001}{6} + \cdots) \\ &= 0.1 + 0.01 + \frac{0.001}{2} + \frac{0.0001}{6} + \cdots \end{aligned} $$

将 $c$ 带入式 $(7.2)$ 可得：

$$\begin{aligned} c &= \ln (1 + \frac{1}{9}) \\ &= \frac{1}{9} - \frac{\frac{1}{9 ^ 2}}{2} + \frac{\frac{1}{9 ^ 3}}{3} - \cdots \end{aligned} $$

分解 $b$ 是简单的：

$$b = 0.111\cdots = 0.1 + 0.01 + 0.001 + \cdots $$

此时 $b > a, c$ 应当是一目了然的，于是考虑对比 $a, c$ 的大小。

取 $c' = \frac{1}{9} - \frac{1}{2 \times 81} + \frac{1}{3 \times 729} > c$，不够好算，再取 $c'' = \frac{1}{9} - \frac{1}{400} + \frac{1}{2000} = \frac{1}{9} - 0.002 > c'$。

取 $a' = 0.1 + 0.01 < a$，易知 $c'' < a'$，于是 $c < c' < c'' < a' < a$。

综上，有 $c < a < b$。