失配指针
定义 fail 为广义的 $\pi$ 函数，即对于 $n$ 个字符串，$fail_{i,j}=\max\limits_{k=1}^n \pi(S_k\#S_{i,1\sim j})$。
上面那个是一种定义，但事实上，在 $\rm AC$ 自动机中，fail 是具有指向性的，它指向的是所有模式串中，前缀与当前字符串某个前缀的后缀匹配可以产生最大匹配的那个串，它与当前串匹配的最后一个结点。
构建 AC 自动机
首先对所有模式串建立 Trie 树，显然 Trie 树上的每一个结点都对应某个模式串的某个前缀。
然后将每个 fail 都指向匹配的结点，显而易见，所有的 fail 都指向一个祖先节点，这个性质后面要用到。
最后构建转移边 Auto，Auto 指向跳 fail 过程中存在字符 $c$ 的结点。
具体来说，可以以 $\rm BFS$ 序遍历 Trie 树，在遍历的同时更新答案，转移式如下：
$$\begin{cases}fail_u=Auto_{fail_{fa_u},c}\\Auto_{u,c}=Auto_{fail_u,c}\end{cases}
$$
建 $\rm AC$ 自动机复杂度为 $\Theta(|\Sigma|n)$。
文本串匹配
遍历文本串，直接按照转移边走即可，如果要统计每个模式串出现的次数，就将所有经过的点权值 $+1$，再在 fail 树上差分即可计算。
令模式串为 $S$，文本串为 $T$，总时间复杂度为 $\Theta(|\Sigma||S|+|T|)$。
例题：[HNOI2004]L语言
首先有一个显然的 $\Theta(|s|\sum|t|)$ 暴力，枚举文本串的转移点，显然其不能超过最大串长，转移式为：
$$f_i=\bigvee_{j=i-|s|}^{i-1}\{f_j\wedge[t_{j+1\sim i}\in s]\}
$$
这个式子的核心在于，$f_i=true$ 当且仅当它存在一个后缀，这个后缀是某个模式串，并且删去这个后缀以后的文本串仍合法。
于是考虑建立 $\rm AC$ 自动机，将文本串放在自动机上跑的时候记 $f_i$ 表示当前前缀是否合法。
存在如下 $\rm AC$ 自动机性质：如果 $v$ 可以从 $u$ 开始由跳 fail 得到，即 fail 树上 $v$ 是 $u$ 的祖先，那么 $v$ 代表的字符串是 $u$ 代表的字符串的一个后缀。
所以从 $u$ 开始遍历跳 fail 经过的结点，如果它代表的字符串长度为 $l$，且为某个模式串的结尾，则将 $g_{u,l}$ 记为 true。 由于 $|s|\leqslant 10$，所以只有当 $l\leqslant 10$ 的时候 $g_{u,l}$ 可能为 true，故直接状压成 $g_u$，其二进制下第 $l$ 位表示之前 $g_{u,l}$ 的值。
最后直接将文本串放在 $\rm AC$ 自动机上跑即可，记 $now_i$ 表示文本串中当前点前 $i$ 位的 $f$ 值为多少，易知 $i\leqslant 10$，故也可以状压成一个数 $now$。 易知 $f_i=true$ 当且仅当 $[now~or~g_u]=true$。
总时间复杂度 $\Theta(|\Sigma|n|s|^2+m|t|)$。