常见函数图像

注意需要从定义域，奇偶性，单调性，特殊点，趋势等方面分析。

$$y = xe ^ x$$

首先容易知道 $$y = xe ^ x$$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ 。

然后考虑对其求导，得到 $$y' = e ^ x(x + 1)$$ 。

可以发现 $$e ^ x$$ 恒大于 $$0$$ ， $$x + 1$$ 在 $$x$$ 小于 $$-1$$ 时小于 $$0$$ ，在 $$x$$ 不小于 $$-1$$ 时不小于 $$0$$ 。

于是我们可以初步以 $(1, -\frac{1}{e})$ 作为分界点，继续分析。

当 $$x < -1$$ 时，可以发现 $$e ^ x$$ 变小得越来越慢，并且导数为负，所以函数从 $(1, -\frac{1}{e})$ 开始向左以 $$x$$ 轴为渐近线递增。
当 $$x > -1$$ 时，可以发现 $$e ^ x$$ 增长得很快，与 $$x + 1$$ 完全不是一个量级的，于是函数图像主要由 $$e ^ x$$ 产生影响，画出的图像与指数函数类似，要稍微陡一点点。

另外一个需要注意的是，函数过点 $$(0, 0)$$ 。

首先容易知道 $y = \frac{e ^ x}{x}$ 的定义域为 $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ 。

然后考虑对其求导，得到 $y' = \frac{e ^ x(x - 1)}{x ^ 2}$ ，容易发现需要以 $$x = 0, 1$$ 作为分界点进行分析：

当 $$x < 0$$ 时，在靠左边的地方 $$e ^ x$$ 的影响非常大，于是往左的函数图像与 $$y = xe ^ x$$ 类似。但是在接近 $$x = 0$$ 的地方 $$e ^ x$$ 的影响较小，剩下部分的结构与 $\frac{1}{x}$ 类似，于是函数图像也是类似的。
当 $$0 < x < 1$$ 时，在接近 $$x = 0$$ 的地方 $$e ^ x$$ 的影响较小，剩下部分的结构与 $\frac{1}{x}$ 类似，于是函数图像也是类似的。
当 $$x > 1$$ 时， $$e ^ x$$ 的影响逐渐变大，于是函数图像类似于指数函数，要稍微缓一点点。

首先容易知道 $y = \frac{x}{e ^ x}$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ 。

然后考虑对其求导，得到 $y' = \frac{1 - x}{e ^ x}$ ，容易发现需要以 $$x = 1$$ 作为分界点进行分析。分析过程与 $$y = xe ^ x$$ 类似（所以图像也是类似的），此处不做赘述。

首先容易知道 $y = x \ln x$ 的定义域为 $\mathbb{R}^+$ 。

然后对其求导，得到 $y' = \ln x + 1$ 。

可以发现从 $$x = 0$$ 开始， $$y'$$ 从 $- \infty$ 开始快速增大，在 $\frac{1}{e}$ 处取到 $$0$$ ，然后继续缓慢增大。

于是 $$y$$ 一开始快速下降，在 $(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e})$ 处取到最小值，然后加速上升，加速度略大于 $$y = x$$ ，远小于 $$y = x ^ 2$$ 。

容易知道 $y = \frac{\ln x}{x}$ 的定义域为 $\mathbb{R}^+$ 。

然后对其求导，得到 $y' =\frac{1 - \ln x}{x ^ 2}$ ，容易发现需要以 $$x = 1, e$$ 作为分界点进行分析。

当 $$0 < x < 1$$ 时，往左 $1 - \ln x$ 快速增大， $$x ^ 2$$ 快速缩小，于是 $$y'$$ 总体快速增大，所以 $$y$$ 从 $$(1, 0)$$ 开始向左以 $$y$$ 轴为渐近线快速下降。
当 $$1 < x < e$$ 时， $1 - \ln x > 0, x ^ 2 > 0$ ，并且 $$y'$$ 的值不大，所以 $$y$$ 从 $$(1, 0)$$ 开始缓慢上升，以 $(e, \frac{1}{e})$ 作为最高点。
当 $$x > e$$ 时， $1 - \ln x < 0, x ^ 2 > 0$ ，并且 $1 - \ln x$ 的下降速度远不如 $$x ^ 2$$ 的上升速度，于是 $$y' < 0$$ 且以 $$0$$ 为渐近线不断变大，体现在图像上即为 $$y$$ 从 $(e, \frac{1}{e})$ 开始减速下降。

容易知道 $y = \frac{x}{\ln x}$ 的定义域为 $\mathbb{R}^+ \backslash\{1\}$ 。

然后对其求导，得到 $y' = \frac{\ln x - 1}{\ln ^ 2 x}$ ，容易发现需要以 $$x = 1, e$$ 作为分界点进行分析。

当 $$0 < x < 1$$ 时， $\ln x - 1$ 始终小于 $$0$$ ， $\ln ^ 2 x$ 始终大于 $$0$$ 。在靠近 $$x = 0$$ 时， $\ln x \to - \infty$ ，故 $\frac{\ln x - 1}{\ln ^ 2 x} \to \frac{1}{-\infty}$ ，于是 $$y$$ 下降幅度很小；在靠近 $$x = 1$$ 时， $\ln x \to 0$ ，所以 $\frac{\ln x - 1}{\ln ^ 2 x} \to -\infty$ ，于是 $$y$$ 下降幅度很大。
当 $$1 < x < e$$ 时， $\ln x - 1$ 始终小于 $$0$$ ， $\ln ^ 2 x$ 始终大于 $$0$$ 。由于在 $$x$$ 仅比 $$1$$ 大一点点的时候 $\ln x$ 非常接近 $$0$$ ，所以 $$y$$ 从 $(1, +\infty)$ （一个虚拟的点）开始以非常快的速度下降，然后逐渐变得平缓，在 $$(e, e)$$ 取到最小值。
当 $$x > e$$ 时， $\ln x - 1$ 以缓慢的速度从 $$0$$ 开始变大， $\ln ^ 2 x$ 以比 $\ln x$ 快一些，但仍然十分缓慢的速度从 $$1$$ 开始变大。由于其结构上与 $\frac{1}{\ln x}$ 十分类似，所以它以非常缓慢的速度减小。体现在图像上即为 $$y$$ 不断上升，但上升速度越来越慢。