欧拉回路

定义

• 欧拉路径：如果图中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径。

• 欧拉回路：首尾相接的欧拉路径被称为欧拉回路。

判定

由于每一条边都要经过恰好一次，因此对于除了起点和终点之外的任意一个节点，只要进来，一定要出去，故有如下结论：

• 一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数，且该图只有一个存在边的连通块。

• 一个无向图存在欧拉路径，当且仅当该图中奇点的数量为 $0$ 或 $2$ 且该图只有一个存在边的连通块。

• 一个有向图存在欧拉回路，当且仅当所有点的入度等于出度。

• 一个混合图存在欧拉回路，当且仅当存在一个对所有无向边定向的方案，使得所有点的入度等于出度。求解需要用到网络流相关算法。

求解

一般使用 $\rm dfs$ 算法求出一张图的欧拉回路。

给每一条边记一个 $\rm vis$ 数组，表示其是否被访问过，然后从一个点出发，遍历所有的边。

直接 $\rm dfs$ 的话可能会有一些点无法被遍历到，于是在记录答案的时候可以倒着记录，即当通过 $u\to v$ 这条边的时候，可以先将点 $v~\rm dfs$ 完，再加入 $u\to v$ 这条边。这样做相当于如果碰到两个相邻的环，但只遍历了其中一个就走到头了，于是我们需要走完另一个环后将两个环拼起来。

由于只需要将图遍历一遍，所以时间复杂度是 $\Theta(n + m)$ 的。

参考代码

void dfs (int u) {
    for (int i = last[u]; i; i = Next[i]) {
        if (vis[i]) continue;
        vis[i] = true;
        int record = i;
        dfs(to[i]);
        Sta[++top] = record;
    }
}