一类贝叶斯定理相关积分的变换技巧

考虑非负实数域上某可用条件概率刻画的期望：

$$E(x) = \int_{0}^{+\infty} xP(t = x|q) \mathrm{d}x $$

其中 $q$ 为已知，且 $P(q|t = x)$ 是可用初等函数刻画的，于是：

考虑贝叶斯定理：

$$E(x) = \int_{0}^{+\infty} x\frac{P(q|t = x)P(t = x)}{P(q)} \mathrm{d}x $$

观察发现对 $x$ 微分本质上就是在枚举每个 $t = x$ 的情况，于是 $P(t = x)$ 已经被 $\mathrm{d}x$ 包含，可以看作 $1$，故

$$E(x) = \int_{0}^{+\infty} x\frac{P(q|t = x)}{P(q)} \mathrm{d}x $$

大多数情况下，哪怕 $P(q)$ 可以用初等函数刻画，整个式子也会难以化简，于是考虑拆 $P(q)$：

$$E(x) = \int_{0}^{+\infty} x\frac{P(q|t = x)}{\int_{0}^{+\infty} P(q|t = y) \mathrm{d}y } \mathrm{d}x $$

整理可得

$$E(x) = \frac{\int_{0}^{+\infty} xP(q|t = x) \mathrm{d}x}{\int_{0}^{+\infty} P(q|t = x) \mathrm{d}x } $$

设 $P(q|t = x) = f(x)$，其中 $f(x)$ 是初等函数，又设 $\delta$ 为积分算子（即 $[\delta f(x)]' = f(x)$ ），即得

$$E(x) = \frac{\int_{0}^{+\infty} xf(x) \mathrm{d}x}{\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x } = \lim_{\varepsilon \to 0^+}^{m \to +\infty}\frac{\delta mf(m) - \delta \varepsilon f(\varepsilon)}{\delta f(m) - \delta f(\varepsilon)} $$