直角坐标方程形如 $y = f(x)$ 或 $f(x, y) = 0$, 参数方程形如 $\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}$, 极坐标方程形如 $\ell = \rho(\theta)$.
直角坐标方程转参数方程
$$y = f(x) \Longrightarrow \begin{cases} x = t \\ y = f(t) \end{cases}
$$
参数方程转直角坐标方程
- 代入法: 直接从 $x = f(t)$ 解出 $t = f^{-1}(x)$, 然后将其带入 $y = g(t)$ 解得 $x$ 和 $y$ 关系.
- 三角法: 如果方程涉及三角函数, 则可以利用三角恒等式解出直角坐标方程.
$$\begin{cases} x = r\cos t \\ y = r \sin t \end{cases} \Longrightarrow x^2 + y^2 = r^2(\sin^2 t + \cos ^ 2 t) = r^2
$$
极坐标方程转参数方程
$$\ell = \rho(\theta) \Longrightarrow \begin{cases} y = \rho(t) \sin t \\ x = \rho(t) \cos t \end{cases}
$$
参数方程转极坐标方程
注意到在极坐标系中, 点的表示为
$$\begin{aligned}
\ell = \sqrt{x^2 + y^2}, \theta = \arctan \frac{y}{x}
\end{aligned}
$$
于是将参数方程带入即可得出 $\ell, \theta$ 与 $t$ 的关系, 设 $\ell = p(t), \theta = \arctan q(t)$, 则
$$\ell = p \circ q^{-1}(\tan \theta)
$$