存在向量三重积公式
$$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}
$$
设向量为
$$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), \quad \mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3).
$$
$$\mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix}
b_2 c_3 - b_3 c_2 \\
b_3 c_1 - b_1 c_3 \\
b_1 c_2 - b_2 c_1
\end{pmatrix}
$$
$$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{pmatrix}
a_2 (b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3 (b_3 c_1 - b_1 c_3) \\
a_3 (b_2 c_3 - b_3 c_2) - a_1 (b_1 c_2 - b_2 c_1) \\
a_1 (b_3 c_1 - b_1 c_3) - a_2 (b_2 c_3 - b_3 c_2)
\end{pmatrix}
$$
展开并整理各分量
- 第一分量
：
$$a_2 b_1 c_2 - a_2 b_2 c_1 - a_3 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_3 = b_1 (a_2 c_2 + a_3 c_3) - c_1 (a_2 b_2 + a_3 b_3)
$$
- 第二分量
：
$$a_3 b_2 c_3 - a_3 b_3 c_2 - a_1 b_1 c_2 + a_1 b_2 c_1 = b_2 (a_3 c_3 + a_1 c_1) - c_2 (a_3 b_3 + a_1 b_1)
$$
- 第三分量
：
$$a_1 b_3 c_1 - a_1 b_1 c_3 - a_2 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_2 = b_3 (a_1 c_1 + a_2 c_2) - c_3 (a_1 b_1 + a_2 b_2)
$$
观察到每个分量中缺少 $a_1 b_1 c_1$
添加这些项后
$$\mathbf{b} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})
$$